Excelで「断面二次モーメント」を計算できる？H鋼から複雑形状まで簡単計算！

投稿日：2021年10月25日

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ものコラム

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このコラムでは、エクセルを使ってH鋼の断面二次モーメントの計算方法をご紹介いたします。

エクセルを使った計算方法は、対象物を分割し「部位ごと」に求めていきます。そのため、H鋼のような単純形状から、複雑な形状までエクセル表の「行を追加」するだけで簡単に計算できる、という大きなメリットがあります。

具体的な計算方法を掲載していますので、最後までお読み頂きお仕事へお役立てください。

断面二次モーメントとは？

さて、それでは断面二次モーメントとはなんでしょうか？ここで確認しておきましょう。

断面二次モーメントは、棒状の部材にモーメント（曲げる力）が発生する時の、「部材の曲げにくさ」を表す指標の一つで、単位は [mm⁴] です。

ご存知の方もいるかと思いますが、部材の曲げにくさを決める指標には以下の二つがあります。

・材料の曲げにくさ：ヤング率
・形状の曲げにくさ：断面二次モーメント

ヤング率は材料が持つ固有の値です。同じ形状を持つゴムよりも金属の方が変形しにくいのは、金属の方がゴムよりもヤング率が高いためです。

一方で断面二次モーメントは、モーメントが発生する断面形状によって決まる値です。

例えば、同じ材料でできた直径 10mm の丸棒よりも直径 20mm の丸棒の方が変形しにくいくいですよね。これは、直径 20mm の方が 10mm よりも断面二次モーメントが高いためです。

強度計算において断面二次モーメントは「部材の曲げ応力」を計算する際の必須知識です。ですが単位 [mm⁴] を見ただけで、その値が持つ意味を理解することは容易ではありません。

ですので、材料力学を学び始めたばかりの人は、まずは「断面二次モーメントは部材の曲げにくさを表す指標である」とだけ覚えておけば十分でしょう。

断面二次モーメントの公式と導出方法

●断面二次モーメント

実務では断面二次モーメントの公式を覚えておけば十分です。例えば、長方形の断面二次モーメント\(I_x \)の公式は、以下となります。

\(I_x=\frac{bh^3}{12} \)

ここではさらに、断面二次モーメントの理解を深めるために、この定義式から発展させた長方形断面の公式を導出してみましょう。

この先は少し内容が難しくなりますので、少し読み進めて「理解できないな」と感じた場合には、先に本ページ下部の「エクセルを使ったH鋼の断面二次モーメントの計算」をお読みいただき、あとから読み直していただいても大丈夫です。

それでは、説明を進めていきます。

下図におけるx軸周りの断面二次モーメントIxの定義は、

\(I_x=\int y^2dA \) です。

\(I_x \) は図心におけるx軸周りの断面二次モーメントを、yは重心からの距離を示しています。また図のGyは断面形状の図心を表しています。

なお、y軸周りの断面二次モーメントはx、yの記号が逆になります。
この公式から、図心周りの長方形断面の断面二次モーメントを算出すると、

\(I_{xr}=\int y^2dA=\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}y^2 dA=\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}y^2bdy=2\times\left[\frac{y^3}{3} \right]_0^\frac{h}{2}=\frac{bh^3}{12} \)

となり、冒頭で紹介した公式と同じになります。